GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Rezolvați inecuația: log⁡12(x2−5x+6)≥log⁡12(x−2)+1\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 1. Discutați soluțiile în funcție de domeniul de existență.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiții de existență: x2−5x+6>0⇒(x−2)(x−3)>0⇒x∈(−∞,2)∪(3,∞)x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty), și x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2. Intersecția: x∈(3,∞)x \in (3, \infty).
22 puncte
Se aduce la aceeași bază: log⁡12(x2−5x+6)≥log⁡12(x−2)+log⁡12(12)−1\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}? Corect: 1=log⁡12(12)1 = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right), deci inecuația devine log⁡12(x2−5x+6)≥log⁡12(x−2)+log⁡12(12)=log⁡12(x−22)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-2}{2}\right).
32 puncte
Baza 12∈(0,1)\frac{1}{2} \in (0,1), deci sensul inegalității se inversează: x2−5x+6≤x−22x^2 - 5x + 6 \leq \frac{x-2}{2}.
42 puncte
Se rezolvă inecuația: 2x2−10x+12≤x−2⇒2x2−11x+14≤02x^2 - 10x + 12 \leq x - 2 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 14 \leq 0.
52 puncte
Discriminant Δ=121−112=9\Delta = 121 - 112 = 9, rădăcini x1=2x_1 = 2, x2=72x_2 = \frac{7}{2}. Soluții: x∈[2,72]x \in [2, \frac{7}{2}]. Intersectat cu domeniul (3,∞)(3, \infty): x∈(3,72]x \in (3, \frac{7}{2}].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.