GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G=S4G = S_4 grupul simetric de grad 4. a) Determinați ordinul lui GG și enumerați toate tipurile de structură ciclică ale permutărilor. b) Fie H={σ∈S4∣σ(4)=4}H = \{ \sigma \in S_4 \mid \sigma(4)=4 \}. Arătați că HH este subgrup izomorf cu S3S_3 și calculați indicele [S4:H][S_4:H]. c) Aplicați teorema lui Lagrange pentru a deduce că S4S_4 nu are subgrupuri de ordin 5. d) Fie K=A4K = A_4 subgrupul altern. Calculați [S4:A4][S_4:A_4] și descrieți clasele laterale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Ordin și structuri: ∣S4∣=24|S_4|=24. Tipuri de structură ciclică: identitatea (ordin 1), transpoziții (ordin 2), produse de două transpoziții disjuncte (ordin 2), 3-cicli (ordin 3), 4-cicli (ordin 4).
23 puncte
HH subgrup: HH este stabilizatorul lui 4, constă din permutări care fixează 4, deci acționează pe {1,2,3}\{1,2,3\}, izomorf cu S3S_3. ∣H∣=6|H|=6. Indicele: [S4:H]=24/6=4[S_4:H]=24/6=4.
32 puncte
Teorema lui Lagrange: Ordinul subgrupului divide 24. 5 nu divide 24, deci nu există subgrup de ordin 5.
43 puncte
K=A4K=A_4: A4A_4 are ordin 12 (jumătate din S4S_4). [S4:A4]=24/12=2[S_4:A_4]=24/12=2. Clasele laterale: A4A_4 și S4∖A4S_4 \setminus A_4 (mulțimea permutărilor impare). Deci două clase: una de permutări pare, una de permutări impare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.