GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G=Z6×Z4G = \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_4 grupul produs direct. a) Determinați ordinul elementului (2,1)(2,1) și verificați dacă generează un subgrup ciclic. b) Calculați indicele subgrupului H=⟨(2,0),(0,2)⟩H = \langle (2,0), (0,2) \rangle în GG. c) Fie φ:G→Z12\varphi: G \to \mathbb{Z}_{12} definită prin φ(a,b)=2a+3b(mod12)\varphi(a,b) = 2a + 3b \pmod{12}. Demonstrați că φ\varphi este morfism de grupuri și determinați nucleul său. d) Aplicați teorema fundamentală de izomorfism pentru a descrie G/Ker(φ)G/\text{Ker}(\varphi).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Ordinul (2,1)(2,1): ord(2)=3\text{ord}(2)=3 în Z6\mathbb{Z}_6, ord(1)=4\text{ord}(1)=4 în Z4\mathbb{Z}_4, deci ord(2,1)=lcm(3,4)=12\text{ord}(2,1)=\text{lcm}(3,4)=12. Generează subgrup ciclic de ordin 1212.
22 puncte
H={(2k,2l)∣k∈Z6,l∈Z4}={(0,0),(2,0),(4,0),(0,2),(2,2),(4,2)}H = \{(2k,2l) \mid k \in \mathbb{Z}_6, l \in \mathbb{Z}_4\} = \{(0,0),(2,0),(4,0),(0,2),(2,2),(4,2)\}, ∣H∣=6|H|=6.
31 punct
∣G∣=24|G|=24, indice [G:H]=24/6=4[G:H]=24/6=4.
42 puncte
φ((a,b)+(c,d))=2(a+c)+3(b+d)=(2a+3b)+(2c+3d)=φ(a,b)+φ(c,d)\varphi((a,b)+(c,d)) = 2(a+c)+3(b+d) = (2a+3b)+(2c+3d) = \varphi(a,b)+\varphi(c,d) mod 1212, deci morfism.
52 puncte
Ker(φ)={(a,b)∣2a+3b≡0(mod12)}\text{Ker}(\varphi) = \{(a,b) \mid 2a+3b \equiv 0 \pmod{12}\}. Rezolvând: 2a+3b=12k2a+3b=12k. Exemple: (0,0),(3,2),(0,4)(0,0),(3,2),(0,4) etc. Se determină ∣Ker∣=6|\text{Ker}|=6 (de exemplu, prin enumerare sistematică).
61 punct
Teorema fundamentală: G/Ker(φ)≅Im(φ)G/\text{Ker}(\varphi) \cong \text{Im}(\varphi). Im(φ)⊆Z12\text{Im}(\varphi) \subseteq \mathbb{Z}_{12}, și din ∣G∣=24|G|=24, ∣Ker∣=6|\text{Ker}|=6, rezultă ∣Im∣=4|\text{Im}|=4, deci G/Ker(φ)≅Z4G/\text{Ker}(\varphi) \cong \mathbb{Z}_4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.