GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Fie a>0a > 0, a≠1a \neq 1. Rezolvați ecuația: alog⁡a(x)+xlog⁡a(a)=2aa^{\log_{a}(x)} + x^{\log_{a}(a)} = 2a, unde x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se simplifică termenii: alog⁡a(x)=xa^{\log_{a}(x)} = x (prin definiția logaritmului) și xlog⁡a(a)=x1=xx^{\log_{a}(a)} = x^{1} = x, deoarece log⁡a(a)=1\log_{a}(a) = 1.
22 puncte
Ecuația devine: x+x=2ax + x = 2a, adică 2x=2a2x = 2a, deci x=ax = a.
32 puncte
Verificare condiții: x>0x > 0 este satisfăcută deoarece a>0a > 0. De asemenea, a≠1a \neq 1 asigură că logaritmii sunt bine definiți.
42 puncte
Se verifică dacă x=ax = a satisface ecuația originală: alog⁡a(a)+alog⁡a(a)=a1+a1=2aa^{\log_{a}(a)} + a^{\log_{a}(a)} = a^{1} + a^{1} = 2a, corect.
52 puncte
Soluția este x=ax = a, unică, pentru a>0a > 0, a≠1a \neq 1. Observație: problema combină proprietăți de exponențiale și logaritmi într-un mod simplu dar care necesită atenție la definiții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.