GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie Un={z∈C∣zn=1}U_n = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \} grupul rădăcinilor de ordin nn ale unității cu înmulțirea. a) Pentru n=12n=12, determinați toți generatorii lui U12U_{12}. b) Fie H={z∈U12∣z4=1}H = \{ z \in U_{12} \mid z^4 = 1 \}. Arătați că HH este subgrup și găsiți toate clasele laterale ale lui HH în U12U_{12}. c) Determinați [U12:H][U_{12}:H] și verificați teorema lui Lagrange. d) Definiți φ:U12→U4\varphi: U_{12} \to U_{4} prin φ(z)=z3\varphi(z)=z^3. Arătați că φ\varphi este morfism și calculați Ker(φ)\text{Ker}(\varphi) și Im(φ)\text{Im}(\varphi).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Generatorii lui U12U_{12}: U12U_{12} este ciclic de ordin 12, izomorf cu Z12\mathbb{Z}_{12}. Generatorii sunt rădăcinile primitive de ordin 12: e2πik/12e^{2\pi i k/12} cu gcd⁡(k,12)=1\gcd(k,12)=1, adică k=1,5,7,11k=1,5,7,11. Deci eπi/6,e5πi/6,e7πi/6,e11πi/6e^{\pi i/6}, e^{5\pi i/6}, e^{7\pi i/6}, e^{11\pi i/6}.
23 puncte
HH subgrup: H={z∈U12∣z4=1}=U4={1,i,−1,−i}H = \{ z \in U_{12} \mid z^4=1 \} = U_4 = \{1, i, -1, -i\}. Este subgrup căci este mulțimea soluțiilor z4=1z^4=1. Clasele laterale: U12/HU_{12}/H are 12/4=312/4=3 clase. Alegem reprezentanți: 1,eπi/6,eπi/31, e^{\pi i/6}, e^{\pi i/3}. Clasele: HH, eπi/6H={eπi/6,e5πi/6,e9πi/6,eπi/6⋅i}e^{\pi i/6}H = \{e^{\pi i/6}, e^{5\pi i/6}, e^{9\pi i/6}, e^{\pi i/6} \cdot i\}, eπi/3H={eπi/3,e2πi/3,e4πi/3,e5πi/3}e^{\pi i/3}H = \{e^{\pi i/3}, e^{2\pi i/3}, e^{4\pi i/3}, e^{5\pi i/3}\}.
32 puncte
Indicele: [U12:H]=3[U_{12}:H]=3, iar ∣U12∣=12|U_{12}|=12, ∣H∣=4|H|=4, și 12=3⋅412=3\cdot4, verifică Lagrange.
43 puncte
Morfismul φ\varphi: φ(zw)=(zw)3=z3w3=φ(z)φ(w)\varphi(zw)=(zw)^3=z^3w^3=\varphi(z)\varphi(w). Ker(φ)={z∈U12∣z3=1}=U3={1,e2πi/3,e4πi/3}\text{Ker}(\varphi)=\{z \in U_{12} \mid z^3=1\}=U_3=\{1, e^{2\pi i/3}, e^{4\pi i/3}\}. Im(φ)={z3∣z∈U12}\text{Im}(\varphi)=\{z^3 \mid z \in U_{12}\}. Deoarece z12=1z^{12}=1, (z3)4=1(z^3)^4=1, deci Im(φ)⊆U4\text{Im}(\varphi) \subseteq U_4. Surjectivitatea: Pentru w∈U4w \in U_4, există zz astfel încât z3=wz^3=w? Da, căci 33 și 44 sunt coprime, deci φ\varphi este surjectiv pe U4U_4. Im(φ)=U4\text{Im}(\varphi)=U_4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.