GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G=Z2×Z4G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4. a) Enumerați toate elementele lui GG și ordinele lor. b) Determinați toate subgrupurile lui GG și arătați că satisfac teorema lui Lagrange. c) Găsiți un subgrup HH de ordin 2 care este normal și descrieți grupul factor G/HG/H. d) Este GG izomorf cu Z8\mathbb{Z}_8?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Elemente și ordine: G={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)}G = \{(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3)\}. Ordine: (0,0)(0,0): ordin 1; (0,1)(0,1): ordin 4; (0,2)(0,2): ordin 2; (0,3)(0,3): ordin 4; (1,0)(1,0): ordin 2; (1,1)(1,1): ordin 4; (1,2)(1,2): ordin 2; (1,3)(1,3): ordin 4.
23 puncte
Subgrupuri: Subgrupurile trebuie să aibă ordin care divide 8: 1,2,4,8. Ordin 1: {(0,0)}\{(0,0)\}. Ordin 2: ⟨(0,2)⟩={(0,0),(0,2)}\langle (0,2) \rangle = \{(0,0),(0,2)\}, ⟨(1,0)⟩={(0,0),(1,0)}\langle (1,0) \rangle = \{(0,0),(1,0)\}, ⟨(1,2)⟩={(0,0),(1,2)}\langle (1,2) \rangle = \{(0,0),(1,2)\}. Ordin 4: ⟨(0,1)⟩={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)}\langle (0,1) \rangle = \{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)\}, ⟨(1,1)⟩={(0,0),(1,1),(0,2),(1,3)}\langle (1,1) \rangle = \{(0,0),(1,1),(0,2),(1,3)\}, ⟨(1,0),(0,2)⟩={(0,0),(1,0),(0,2),(1,2)}\langle (1,0),(0,2) \rangle = \{(0,0),(1,0),(0,2),(1,2)\}. Ordin 8: GG însuși. Toate satisfac Lagrange.
33 puncte
Subgrup normal HH de ordin 2: Într-un grup abelian, orice subgrup este normal. Alegem H={(0,0),(0,2)}H = \{(0,0),(0,2)\}. G/HG/H are 4 elemente: clasele (0,0)+H(0,0)+H, (0,1)+H(0,1)+H, (1,0)+H(1,0)+H, (1,1)+H(1,1)+H. G/H≅Z2×Z2G/H \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 (căci fiecare element nenul are ordin 2).
42 puncte
Izomorfism cu Z8\mathbb{Z}_8: Z8\mathbb{Z}_8 este ciclic. GG nu este ciclic deoarece are elemente de ordin maxim 4, nu 8. Deci nu sunt izomorfe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.