GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Fie f(x)=ln⁡(ln⁡x)f(x) = \ln(\ln x) și g(x)=eexg(x) = e^{e^x}. a) Determinați domeniile de definiție ale lui ff și gg. b) Rezolvați ecuația f(g(x))=1f(g(x)) = 1. c) Studiați dacă funcția h(x)=f(x)+g−1(x)h(x) = f(x) + g^{-1}(x) este definită pe un interval comun și găsiți-o dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
a) f(x)f(x): ln⁡x>0⇒x>1\ln x > 0 \Rightarrow x > 1, deci Df=(1,∞)D_f = (1, \infty). g(x)g(x): definită pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci Dg=RD_g = \mathbb{R}.
22 puncte
b) f(g(x))=ln⁡(ln⁡(eex))=ln⁡(ex)=xf(g(x)) = \ln(\ln(e^{e^x})) = \ln(e^x) = x. Ecuația devine x=1x = 1. Verificare: g(1)=ee1=ee>1g(1) = e^{e^1} = e^e > 1, deci f(g(1))f(g(1)) este definită. Soluție: x=1x = 1.
32 puncte
c) g−1(x)g^{-1}(x): din y=eexy = e^{e^x}, se logaritmează: ln⁡y=ex\ln y = e^x, apoi x=ln⁡(ln⁡y)x = \ln(\ln y), deci g−1(x)=ln⁡(ln⁡x)g^{-1}(x) = \ln(\ln x), cu x>1x > 1.
42 puncte
Atunci h(x)=ln⁡(ln⁡x)+ln⁡(ln⁡x)=2ln⁡(ln⁡x)h(x) = \ln(\ln x) + \ln(\ln x) = 2\ln(\ln x), definită pentru x>1x > 1.
52 puncte
Domeniul comun pentru f(x)f(x) și g−1(x)g^{-1}(x) este (1,∞)(1, \infty), deci h(x)h(x) este definită pe (1,∞)(1, \infty) și h(x)=2ln⁡(ln⁡x)h(x) = 2\ln(\ln x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.