GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G={f:R→R∣f(x)=ax+b,a∈R∗,b∈R}G = \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(x) = ax + b, a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}\} cu operația de compunere a funcțiilor. a) Demonstrați că (G,∘)(G, \circ) este grup. b) Determinați subgrupul H={f∈G∣f(0)=0}H = \{f \in G \mid f(0) = 0\} și arătați că indicele lui HH în GG este infinit. c) Fie φ:G→R∗\varphi: G \to \mathbb{R}^* definită prin φ(f)=a\varphi(f) = a, unde f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Demonstrați că φ\varphi este morfism de grupuri și determinați nucleul și imaginea sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
12 puncte
Verificare închidere: (f1∘f2)(x)=a1(a2x+b2)+b1=(a1a2)x+(a1b2+b1)∈G(f_1 \circ f_2)(x) = a_1(a_2x + b_2) + b_1 = (a_1a_2)x + (a_1b_2 + b_1) \in G
22 puncte
Asociativitatea rezultă din asociativitatea compunerii funcțiilor. Element neutru: e(x)=1⋅x+0=xe(x) = 1 \cdot x + 0 = x
32 puncte
Inversa: pentru f(x)=ax+bf(x)=ax+b, f−1(x)=1ax−baf^{-1}(x)=\frac{1}{a}x - \frac{b}{a}. Deci (G,∘)(G,\circ) grup.
41 punct
H={f∈G∣f(0)=b=0}={f(x)=ax∣a∈R∗}H = \{f \in G \mid f(0)=b=0\} = \{f(x)=ax \mid a \in \mathbb{R}^*\} este subgrup.
51 punct
Clasele laterale: fH={g∘h∣h∈H}={g(x)=ax+b∣a∈R∗}fH = \{g \circ h \mid h \in H\} = \{g(x)=ax + b \mid a \in \mathbb{R}^*\} pentru gg fixat. Indicele infinit deoarece bb poate lua infinit valori.
61 punct
φ(f1∘f2)=a1a2=φ(f1)φ(f2)\varphi(f_1 \circ f_2) = a_1a_2 = \varphi(f_1)\varphi(f_2), deci morfism.
71 punct
Ker(φ)={f∈G∣a=1}={f(x)=x+b∣b∈R}\text{Ker}(\varphi) = \{f \in G \mid a=1\} = \{f(x)=x+b \mid b \in \mathbb{R}\}
80 puncte
Im(φ)=R∗\text{Im}(\varphi) = \mathbb{R}^* (surjectiv).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.