GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie φ:(Z24,+)→(Z18,+)\varphi: (\mathbb{Z}_{24}, +) \to (\mathbb{Z}_{18}, +) un morfism de grupuri. a) Determinați toate morfismele φ\varphi posibile. b) Pentru fiecare morfism, calculați Ker(φ)\text{Ker}(\varphi) și Im(φ)\text{Im}(\varphi). c) Aplicați teorema fundamentală de izomorfism pentru a descrie grupul factor Z24/Ker(φ)\mathbb{Z}_{24}/\text{Ker}(\varphi) pentru un morfism nenul. d) Care este numărul de morfisme surjective?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Morfisme: Un morfism φ\varphi este determinat de φ(1)\varphi(1), căci φ(k)=kφ(1)\varphi(k)=k\varphi(1). Condiția: φ(24)=24φ(1)=0\varphi(24)=24\varphi(1)=0 în Z18\mathbb{Z}_{18}, deci 18∣24φ(1)18 \mid 24\varphi(1). Fie φ(1)=a∈Z18\varphi(1)=a \in \mathbb{Z}_{18}. Atunci 18∣24a18 \mid 24a, adică 18gcd⁡(18,24)∣a\frac{18}{\gcd(18,24)} \mid a, gcd⁡(18,24)=6\gcd(18,24)=6, 18/6=318/6=3, deci 3∣a3 \mid a. a∈{0,3,6,9,12,15}a \in \{0,3,6,9,12,15\}. Deci 6 morfisme.
23 puncte
Nucleu și imagine: Pentru a=0a=0: φ(k)=0\varphi(k)=0, Ker=Z24\text{Ker}=\mathbb{Z}_{24}, Im={0}\text{Im}=\{0\}. Pentru a=3a=3: φ(k)=3kmod  18\varphi(k)=3k \mod 18. Ker:3k≡0(mod18)⇒18∣3k⇒6∣k\text{Ker}: 3k \equiv 0 \pmod{18} \Rightarrow 18 \mid 3k \Rightarrow 6 \mid k, deci Ker={0,6,12,18}\text{Ker}=\{0,6,12,18\} (ordin 4). Im={0,3,6,9,12,15}\text{Im}=\{0,3,6,9,12,15\} (ordin 6). Similar pentru celelalte: a=6a=6: Ker={0,3,6,9,12,15,18,21}\text{Ker}=\{0,3,6,9,12,15,18,21\} (ordin 8), Im={0,6,12}\text{Im}=\{0,6,12\} (ordin 3); a=9a=9: Ker={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22}\text{Ker}=\{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\} (ordin 12), Im={0,9}\text{Im}=\{0,9\} (ordin 2); a=12a=12: ca a=6a=6; a=15a=15: ca a=3a=3.
33 puncte
Teorema fundamentală: Pentru φ\varphi nenul, e.g., a=3a=3: Z24/Ker(φ)≅Im(φ)\mathbb{Z}_{24}/\text{Ker}(\varphi) \cong \text{Im}(\varphi). Ker\text{Ker} are ordin 4, deci factorul are ordin 6, izomorf cu Z6\mathbb{Z}_6 (căci Im\text{Im} este subgrup ciclic de ordin 6 în Z18\mathbb{Z}_{18}).
42 puncte
Morfisme surjective: φ\varphi surjectiv dacă Im(φ)=Z18\text{Im}(\varphi)=\mathbb{Z}_{18}, adică φ(1)\varphi(1) generator al Z18\mathbb{Z}_{18}. Generatorii lui Z18\mathbb{Z}_{18} sunt numerele coprime cu 18: 1,5,7,11,13,171,5,7,11,13,17. Dar φ(1)\varphi(1) trebuie să satisfacă 3∣a3 \mid a, deci niciun generator nu verifică. Deci 0 morfisme surjective.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.