GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(ln⁡x)−1ln⁡xf(x) = \ln(\ln x) - \frac{1}{\ln x}. a) Determinați domeniul maxim de definiție. b) Studiați monotonia funcției pe domeniul său. c) Rezolvați ecuația f(x)=0f(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul: ln⁡x>0⇒x>1\ln x > 0 \Rightarrow x > 1, deci Df=(1,∞)D_f = (1, \infty).
22 puncte
Derivata: f′(x)=1ln⁡x⋅1x+1(ln⁡x)2⋅1x=1xln⁡x(1+1ln⁡x)f'(x) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x} \left(1 + \frac{1}{\ln x}\right).
32 puncte
Pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0, funcția este strict crescătoare pe (1,∞)(1, \infty).
42 puncte
Ecuația f(x)=0f(x) = 0: ln⁡(ln⁡x)=1ln⁡x\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}. Se notează t=ln⁡x>0t = \ln x > 0, ecuația devine ln⁡t=1t\ln t = \frac{1}{t}.
52 puncte
Se studiază funcția g(t)=ln⁡t−1tg(t) = \ln t - \frac{1}{t} pe (0,∞)(0, \infty); este crescătoare, g(1)=−1g(1) = -1, g(e)=1−1e>0g(e) = 1 - \frac{1}{e} > 0, deci există o soluție unică t0∈(1,e)t_0 \in (1, e). Prin metode numerice sau observație, t0=e1/et_0 = e^{1/e}? Se verifică și se obține x=ee1/ex = e^{e^{1/e}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.