GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Demonstrați că pentru orice x,y>0x, y > 0 cu x≠yx \neq y, are loc inegalitatea: log⁡2x+log⁡2y2>log⁡2(x+y2)\frac{\log_{2}x + \log_{2}y}{2} > \log_{2}\left(\frac{x+y}{2}\right). Utilizați proprietăți ale logaritmilor și inegalități clasice.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se exprimă inegalitatea: log⁡2x+log⁡2y2>log⁡2(x+y2)⇒log⁡2xy>log⁡2(x+y2)\frac{\log_{2}x + \log_{2}y}{2} > \log_{2}\left(\frac{x+y}{2}\right) \Rightarrow \log_{2}\sqrt{xy} > \log_{2}\left(\frac{x+y}{2}\right).
22 puncte
Baza 2 > 1, deci inegalitatea este echivalentă cu xy>x+y2\sqrt{xy} > \frac{x+y}{2}.
32 puncte
Se demonstrează că xy≤x+y2\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} prin inegalitatea mediilor (AM-GM), cu egalitate doar pentru x=yx=y.
42 puncte
În cazul x≠yx \neq y, inegalitatea AM-GM devine strictă: xy<x+y2\sqrt{xy} < \frac{x+y}{2}.
52 puncte
Contradicție cu pasul 2? De fapt, inegalitatea inițială este falsă; se corectează: log⁡2x+log⁡2y2<log⁡2(x+y2)\frac{\log_{2}x + \log_{2}y}{2} < \log_{2}\left(\frac{x+y}{2}\right) pentru x≠yx \neq y, iar demonstrația se face prin convexitatea funcției logaritm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.