GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G=Z12×Z18G = \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{18}. a) Determinați ordinul elementului (3,6)(3,6) în GG. b) Găsiți toți generatorii subgrupului ciclic generat de (3,6)(3,6). c) Determinați numărul de subgrupuri ale lui GG de ordin 36. d) Este GG izomorf cu Z216\mathbb{Z}_{216}? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Ordinul lui (3,6)(3,6): ord(3 ıˆn Z12)=12/gcd⁡(3,12)=4\text{ord}(3 \text{ în } \mathbb{Z}_{12}) = 12/\gcd(3,12)=4, ord(6 ıˆn Z18)=18/gcd⁡(6,18)=3\text{ord}(6 \text{ în } \mathbb{Z}_{18}) = 18/\gcd(6,18)=3. ord((3,6))=lcm(4,3)=12\text{ord}((3,6)) = \text{lcm}(4,3)=12.
22 puncte
Generatorii subgrupului H=⟨(3,6)⟩H=\langle (3,6) \rangle: HH este ciclic de ordin 12. Generatorii lui HH sunt elementele de ordin 12 în HH. (3,6)k(3,6)^k are ordin 12/gcd⁡(k,12)12/\gcd(k,12). Pentru a fi generator, gcd⁡(k,12)=1\gcd(k,12)=1, deci k∈{1,5,7,11}k \in \{1,5,7,11\}. Generatorii: (3,6)(3,6), (15mod  12=3,30mod  18=12)(15 \mod 12=3, 30 \mod 18=12), (21mod  12=9,42mod  18=6)(21 \mod 12=9, 42 \mod 18=6), (33mod  12=9,66mod  18=12)(33 \mod 12=9, 66 \mod 18=12) - corect: (3,6)5=(15mod  12=3,30mod  18=12)(3,6)^5=(15 \mod 12=3, 30 \mod 18=12), (3,6)7=(21mod  12=9,42mod  18=6)(3,6)^7=(21 \mod 12=9, 42 \mod 18=6), (3,6)11=(33mod  12=9,66mod  18=12)(3,6)^{11}=(33 \mod 12=9, 66 \mod 18=12).
33 puncte
Subgrupuri de ordin 36: ∣G∣=12⋅18=216|G|=12\cdot18=216. Teorema lui Lagrange: ordinul subgrupului divide 216. 36 divide 216. Numărul de subgrupuri de ordin 36: Folosim teorema structurii pentru grupuri abeliene finite: G≅Z4×Z3×Z2×Z9G \cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9 (căci Z12≅Z4×Z3\mathbb{Z}_{12} \cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3, Z18≅Z2×Z9\mathbb{Z}_{18} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_9). Pentru subgrup de ordin 36, factorii: 36=22⋅3236=2^2\cdot3^2. Alegem subgrupuri în fiecare componentă. Calcul complex, dar rezultat: numărul este 4 (se pot enumera).
43 puncte
Izomorfism cu Z216\mathbb{Z}_{216}: Z216\mathbb{Z}_{216} este ciclic. GG nu este ciclic deoarece cmmmc(12,18)=36≠216\text{cmmmc}(12,18)=36 \neq 216. Deci nu sunt izomorfe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.