GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Rezolvați inecuația: log⁡12(log⁡3(x2−5x+6))≥0\log_{\frac{1}{2}}(\log_{3}(x^2 - 5x + 6)) \geq 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiții de existență: x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0 și log⁡3(x2−5x+6)>0\log_{3}(x^2 - 5x + 6) > 0.
22 puncte
Prima condiție: x2−5x+6>0⇒x∈(−∞,2)∪(3,∞)x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty).
32 puncte
A doua condiție: log⁡3(x2−5x+6)>0⇒x2−5x+6>1⇒x2−5x+5>0\log_{3}(x^2 - 5x + 6) > 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 > 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 5 > 0.
42 puncte
Rezolvăm x2−5x+5>0x^2 - 5x + 5 > 0: Δ=5\Delta = 5, rădăcini x=5±52x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}. Soluții: x<5−52x < \frac{5 - \sqrt{5}}{2} sau x>5+52x > \frac{5 + \sqrt{5}}{2}.
52 puncte
Inecuația principală: log⁡12(u)≥0\log_{\frac{1}{2}}(u) \geq 0, cu u=log⁡3(x2−5x+6)u = \log_{3}(x^2 - 5x + 6). Deoarece baza 12∈(0,1)\frac{1}{2} \in (0,1), inecuația devine 0<u≤10 < u \leq 1. Dar din condiții avem u>0u > 0, deci rămâne u≤1⇒log⁡3(x2−5x+6)≤1⇒x2−5x+6≤3⇒x2−5x+3≤0u \leq 1 \Rightarrow \log_{3}(x^2 - 5x + 6) \leq 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 \leq 3 \Rightarrow x^2 - 5x + 3 \leq 0. Soluții: x∈[5−132,5+132]x \in \left[\frac{5 - \sqrt{13}}{2}, \frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right]. Intersectăm toate condițiile pentru soluția finală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.