GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G=S4G = S_4 grupul simetric de grad 44. a) Determinați ordinul lui GG și enumerați toate subgrupurile sale de ordin 1212 (subgrupuri A4). b) Fie H=⟨(123),(12)(34)⟩H = \langle (1 2 3), (1 2)(3 4) \rangle. Demonstrați că HH este subgrup de ordin 88 (izomorf cu grupul diedral D4D_4) și calculați indicele său în GG. c) Fie φ:G→Z2\varphi: G \to \mathbb{Z}_2 definită prin φ(σ)=0\varphi(\sigma) = 0 dacă σ\sigma este par și 11 dacă σ\sigma este impar. Demonstrați că φ\varphi este morfism și determinați nucleul său. d) Aplicați teorema lui Lagrange pentru a arăta că orice subgrup al lui GG are ordin divizor al lui 2424.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
∣S4∣=24|S_4|=24. Subgrupuri de ordin 1212: A4A_4 (grupul altern) este unic subgrup de ordin 1212 în S4S_4.
22 puncte
HH: (123)(1 2 3) are ordin 33, (12)(34)(1 2)(3 4) are ordin 22, și ele generează un subgrup de ordin 88 (se verifică prin compunere). H≅D4H \cong D_4 (grupul simetriilor pătratului).
31 punct
Indice [G:H]=24/8=3[G:H]=24/8=3.
42 puncte
φ\varphi: φ(στ)=φ(σ)+φ(τ)(mod2)\varphi(\sigma\tau) = \varphi(\sigma) + \varphi(\tau) \pmod{2} căci paritatea compunerii este suma parităților mod 22, deci morfism.
52 puncte
Ker(φ)={σ∈S4∣σ par}=A4\text{Ker}(\varphi) = \{\sigma \in S_4 \mid \sigma \text{ par}\} = A_4.
61 punct
Teorema Lagrange: pentru orice subgrup K⊆GK \subseteq G, ∣K∣|K| divide 2424, verificat pentru HH (8∣248|24) și A4A_4 (12∣2412|24).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.