GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G=(Z12,+)G = (\mathbb{Z}_{12}, +) și H=⟨4⟩H = \langle 4 \rangle subgrupul său ciclic generat de 44. a) Determinați toate elementele lui HH și ordinea acestuia. b) Scrieți toate clasele laterale stângi ale lui HH în GG. c) Determinați numărul de subgrupuri ale lui GG care conțin HH și descrieți-le. d) Este G/HG/H grup ciclic? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
H={0,4,8}H = \{0, 4, 8\}, ordine ∣H∣=3|H|=3.
22 puncte
Clasele laterale: 0+H={0,4,8}0+H=\{0,4,8\}, 1+H={1,5,9}1+H=\{1,5,9\}, 2+H={2,6,10}2+H=\{2,6,10\}, 3+H={3,7,11}3+H=\{3,7,11\}.
32 puncte
Subgrupurile lui GG: ordinele divizori ai 1212: 1,2,3,4,6,121,2,3,4,6,12. Cele care conțin HH trebuie să aibă ordin multiplu de 33 și divizor al lui 1212: 3,6,123,6,12.
42 puncte
Subgrup de ordin 33: HH; ordin 66: ⟨2⟩={0,2,4,6,8,10}\langle 2 \rangle = \{0,2,4,6,8,10\}; ordin 1212: GG însuși.
52 puncte
G/HG/H are 44 elemente: clasele 0+H0+H, 1+H1+H, 2+H2+H, 3+H3+H. Operația: (a+H)+(b+H)=(a+b)+H(a+H)+(b+H)=(a+b)+H.
61 punct
G/H≅Z4G/H \cong \mathbb{Z}_4 (căci ∣G/H∣=4|G/H|=4 și grup ciclic de ordin 44), deci este ciclic, generat de 1+H1+H.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.