GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡x(x+1)>log⁡x+1(x+2)\log_{x}(x+1) > \log_{x+1}(x+2).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se scrie inegalitatea sub forma: ln⁡(x+1)ln⁡x>ln⁡(x+2)ln⁡(x+1)\frac{\ln(x+1)}{\ln x} > \frac{\ln(x+2)}{\ln(x+1)}, deoarece x>1x > 1.
22 puncte
Se aranjează: [ln⁡(x+1)]2>ln⁡x⋅ln⁡(x+2)[\ln(x+1)]^2 > \ln x \cdot \ln(x+2).
32 puncte
Se consideră funcția f(t)=ln⁡tf(t) = \ln t, care este concavă pe (0,∞)(0, \infty) deoarece f′′(t)=−1/t2<0f''(t) = -1/t^2 < 0.
42 puncte
Aplicăm inegalitatea lui Jensen pentru funcții concave: f(a+b2)≥f(a)+f(b)2f(\frac{a+b}{2}) \geq \frac{f(a)+f(b)}{2}, cu a=xa = x, b=x+2b = x+2.
52 puncte
Obținem ln⁡(x+1)≥ln⁡x+ln⁡(x+2)2\ln(x+1) \geq \frac{\ln x + \ln(x+2)}{2}, deci [ln⁡(x+1)]2≥[ln⁡x+ln⁡(x+2)]24≥ln⁡x⋅ln⁡(x+2)[\ln(x+1)]^2 \geq \frac{[\ln x + \ln(x+2)]^2}{4} \geq \ln x \cdot \ln(x+2) prin inegalitatea mediilor. Egalitatea nu are loc deoarece x≠x+2x \neq x+2, deci inegalitatea este strictă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.