GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G=(Z15∗,⋅)G = (\mathbb{Z}_{15}^*, \cdot) grupul unităților modulo 1515. a) Determinați toate elementele lui GG și structura sa (e.g., izomorf cu un produs direct de grupuri ciclice). b) Găsiți toți generatorii lui GG (dacă există) sau demonstrați că nu este ciclic. c) Fie H={1,4}H = \{1, 4\}. Verificați dacă HH este subgrup al lui GG și calculați indicele său. d) Aplicați teorema lui Lagrange pentru a deduce proprietăți ale ordinelor elementelor din GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Z15∗={1,2,4,7,8,11,13,14}\mathbb{Z}_{15}^* = \{1,2,4,7,8,11,13,14\}, ∣G∣=8|G|=8. Structura: Z15∗≅Z2×Z4\mathbb{Z}_{15}^* \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 (căci 15=3⋅515=3\cdot5 și Z3∗×Z5∗≅Z2×Z4\mathbb{Z}_3^* \times \mathbb{Z}_5^* \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4).
22 puncte
GG nu este ciclic: ordinul elementelor: ord(1)=1\text{ord}(1)=1, ord(2)=4\text{ord}(2)=4, ord(4)=2\text{ord}(4)=2, ord(7)=4\text{ord}(7)=4, ord(8)=4\text{ord}(8)=4, ord(11)=2\text{ord}(11)=2, ord(13)=4\text{ord}(13)=4, ord(14)=2\text{ord}(14)=2. Niciun element de ordin 88.
32 puncte
H={1,4}H = \{1,4\}: 42=16≡1(mod15)4^2=16 \equiv 1 \pmod{15}, deci închis, inversa lui 44 este ea însăși, subgrup de ordin 22.
42 puncte
Indice [G:H]=∣G∣/∣H∣=8/2=4[G:H]=|G|/|H|=8/2=4.
51 punct
Teorema Lagrange: ordinul oricărui element divide 88, verificat: ordinele 1,2,41,2,4.
61 punct
Concluzie: GG are elemente de ordine 1,2,41,2,4, în concordanță cu teorema lui Lagrange.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.