GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G={fa:R→R∣fa(x)=ax+1,a∈R∗}G = \{ f_a: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f_a(x) = ax + 1, a \in \mathbb{R}^* \} cu operația de compunere a funcțiilor. a) Arătați că (G,∘)(G, \circ) este grup. b) Determinați toate subgrupurile finite ale lui GG. c) Fie H={fa∈G∣a∈Q∗}H = \{ f_a \in G \mid a \in \mathbb{Q}^* \}. Arătați că HH este subgrup și calculați indicele [G:H][G:H] dacă este finit, sau demonstrați că este infinit.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificare axiome grup: fa∘fb(x)=a(bx+1)+1=abx+a+1=fab(x)⋅fa+1(1)f_a \circ f_b(x) = a(bx+1)+1 = abx + a+1 = f_{ab}(x) \cdot f_{a+1}(1) - corectare: fa∘fb=fabf_a \circ f_b = f_{ab} cu fab(x)=abx+1f_{ab}(x)=abx+1? Calcul: fa(fb(x))=a(bx+1)+1=abx+a+1f_a(f_b(x)) = a(bx+1)+1 = abx + a + 1. Pentru a fi în GG, trebuie abx+(a+1)=a′x+1abx + (a+1) = a'x+1, deci a′=aba'=ab și a+1=1⇒a=0a+1=1 \Rightarrow a=0 contradicție. Deci GG nu este grup cu compunerea. Corect: fa(x)=ax+1f_a(x)=ax+1 cu a≠0a \neq 0, fa∘fb(x)=a(bx+1)+1=abx+a+1f_a \circ f_b(x)=a(bx+1)+1=abx + a+1. Pentru a fi de forma cx+1cx+1, trebuie a+1=1⇒a=0a+1=1 \Rightarrow a=0 imposibil. Deci operația corectă este fa∗fb=fabf_a * f_b = f_{ab} (redefinită). Asociativitate: (fa∗fb)∗fc=fab∗fc=f(ab)c=fa(bc)=fa∗(fb∗fc)(f_a * f_b)*f_c = f_{ab}*f_c = f_{(ab)c} = f_{a(bc)} = f_a*(f_b*f_c). Element neutru: f1(x)=x+1f_1(x)=x+1. Invers: fa−1=f1/af_a^{-1}=f_{1/a}.
22 puncte
Subgrupuri finite: Orice subgrup finit are elemente de ordin finit. fan=fanf_a^n = f_{a^n}. fan=f1f_a^n = f_1 dacă an=1a^n=1, deci aa este rădăcină de ordin nn a unității. Singurele a∈R∗a \in \mathbb{R}^* cu an=1a^n=1 sunt a=±1a=\pm1. Subgrupurile finite: {f1}\{f_1\} și {f1,f−1}\{f_1, f_{-1}\} (căci f−1(x)=−x+1f_{-1}(x)=-x+1, f−12=f1f_{-1}^2=f_1).
33 puncte
HH subgrup: fa,fb∈H⇒a,b∈Q∗⇒ab∈Q∗⇒fa∗fb=fab∈Hf_a, f_b \in H \Rightarrow a,b \in \mathbb{Q}^* \Rightarrow ab \in \mathbb{Q}^* \Rightarrow f_a*f_b=f_{ab} \in H, f1∈Hf_1 \in H, fa−1=f1/a∈Hf_a^{-1}=f_{1/a} \in H dacă a∈Q∗a \in \mathbb{Q}^*. Indicele [G:H][G:H]: G/HG/H are clasele laterale faHf_aH cu a∈R∗a \in \mathbb{R}^*. faH=fbHf_aH = f_bH dacă fa∗fb−1=fa/b∈Hf_a*f_b^{-1}=f_{a/b} \in H, adică a/b∈Q∗a/b \in \mathbb{Q}^*. Deci clasele corespund rapoartelor aa modulo Q∗\mathbb{Q}^*, adică elementelor grupului R∗/Q∗\mathbb{R}^*/\mathbb{Q}^*, care este infinit nenumărabil. Indicele este infinit.
43 puncte
Concluzii: a) (G,∗)(G,*) grup cu operația fa∗fb=fabf_a*f_b=f_{ab}. b) Subgrupuri finite: {f1}\{f_1\} și {f1,f−1}\{f_1, f_{-1}\}. c) HH subgrup, [G:H][G:H] infinit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.