GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1 și A are elementele raționale}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \text{ și } A \text{ are elementele raționale} \} cu înmulțirea matricelor. a) Arătați că GG este grup (grupul SL2(Q)SL_2(\mathbb{Q})). b) Determinați centrul Z(G)Z(G). c) Fie H={A∈G∣A11=A22=1,A12=0}H = \{ A \in G \mid A_{11} = A_{22} = 1, A_{12} = 0 \}. Arătați că HH este subgrup și calculați indicele [G:H][G:H]. d) Este HH normal în GG?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
GG grup: SL2(Q)SL_2(\mathbb{Q}) este subgrup al lui GL2(R)GL_2(\mathbb{R}). Închidere: A,B∈G⇒det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1A,B \in G \Rightarrow \det(AB)=\det(A)\det(B)=1, elementele sunt raționale. Asociativitate: din înmulțirea matricelor. Element neutru: I2I_2. Invers: A−1=1det⁡(A)(A22−A12−A21A11)=(A22−A12−A21A11)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{pmatrix} cu elemente raționale.
22 puncte
Centrul: Z(G)={A∈G∣AB=BA pentru orice B∈G}Z(G) = \{ A \in G \mid AB=BA \text{ pentru orice } B \in G \}. Pentru SL2(Q)SL_2(\mathbb{Q}), centrul este {±I2}\{ \pm I_2 \} (se verifică cu matrici elementare).
33 puncte
HH subgrup: H={(10x1)∣x∈Q}H = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{pmatrix} \mid x \in \mathbb{Q} \right\}. Închidere: (10x1)(10y1)=(10x+y1)∈H\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x+y & 1 \end{pmatrix} \in H. Neutru: x=0x=0. Invers: (10−x1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -x & 1 \end{pmatrix}. Indicele: GG are infinit de elemente, HH este infinit, indicele este infinit (se poate arăta că clasele laterale corespund unor parametri).
43 puncte
HH normal: HH nu este normal în GG. Contraexemplu: Fie A=(0−110)∈GA = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in G și B=(1011)∈HB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \in H. ABA−1=(1−101)ABA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} care nu este în HH (căci A12≠0A_{12} \neq 0). Deci HH nu este normal.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.