GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1\} cu înmulțirea matricelor. a) Demonstrați că GG este grup (grupul liniar special SL2(R)SL_2(\mathbb{R})). b) Fie H={A∈G∣A=(1a01),a∈R}H = \{A \in G \mid A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}\}. Demonstrați că HH este subgrup al lui GG și determinați dacă este normal. c) Calculați indicele lui HH în GG (justificați că este infinit). d) Fie φ:G→R∗\varphi: G \to \mathbb{R}^* definită prin φ(A)=tr(A)\varphi(A) = \text{tr}(A) (urma matricei). Este φ\varphi morfism de grupuri? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Închidere: det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1\det(AB)=\det(A)\det(B)=1, asociativitate din înmulțire matrici, element neutru I2I_2, inversa A−1A^{-1} există cu det⁡(A−1)=1\det(A^{-1})=1.
22 puncte
HH: (1a01)(1b01)=(1a+b01)∈H\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in H, inversa (1−a01)\begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci subgrup.
32 puncte
HH nu este normal: exemplu B=(01−10)∈GB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \in G, BHB−1≠HBHB^{-1} \neq H (se calculează concret).
42 puncte
Indice infinit: clasele laterale pot fi parametrizate de infinit de multe matrice din GG (de ex., prin elemente din R2\mathbb{R}^2).
51 punct
φ\varphi nu este morfism: tr(AB)≠tr(A)tr(B)\text{tr}(AB) \neq \text{tr}(A)\text{tr}(B) în general (contraexemplu: A=(2001/2)A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}, B=(1101)B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}).
61 punct
Concluzie: φ\varphi nu păstrează operația, deci nu este morfism.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.