GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Fie f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=log⁡2(log⁡3(x))f(x) = \log_{2}(\log_{3}(x)). a) Determinați domeniul maxim de definiție al lui ff. b) Studiați monotonia lui ff. c) Rezolvați ecuația f(x2−4x)=f(2x−3)f(x^2 - 4x) = f(2x - 3).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
a) Condiții: log⁡3(x)>0\log_{3}(x) > 0 și x>0x > 0, deci x>1x > 1. Domeniul: (1,∞)(1, \infty).
22 puncte
b) f(x)=ln⁡(ln⁡x/ln⁡3)ln⁡2f(x) = \frac{\ln(\ln x / \ln 3)}{\ln 2}. Derivata: f′(x)=1xln⁡xln⁡2f'(x) = \frac{1}{x \ln x \ln 2}. Pentru x>1x > 1, f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare.
32 puncte
c) Din monotonia strictă, f(u)=f(v)⇒u=vf(u) = f(v) \Rightarrow u = v, cu u,v>1u, v > 1. Deci x2−4x=2x−3x^2 - 4x = 2x - 3.
42 puncte
Se obține x2−6x+3=0x^2 - 6x + 3 = 0, cu soluțiile x=3±6x = 3 \pm \sqrt{6}.
52 puncte
Verificare condiții: u=x2−4x>1u = x^2 - 4x > 1 și v=2x−3>1v = 2x - 3 > 1. Pentru x=3+6x = 3 + \sqrt{6}, ambele condiții sunt satisfăcute. Pentru x=3−6<1x = 3 - \sqrt{6} < 1, nu satisface v>1v > 1. Soluție unică: x=3+6x = 3 + \sqrt{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.