GreuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

GreuLogaritmi
Determinați toate valorile reale ale lui mm pentru care ecuația log⁡2(x2+mx)−log⁡2(x−1)=1\log_{2}(x^2 + mx) - \log_{2}(x - 1) = 1 are exact două soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiții de existență: x2+mx>0x^2 + mx > 0 și x−1>0x - 1 > 0, deci x>1x > 1.
22 puncte
Ecuația se scrie: log⁡2(x2+mxx−1)=1⇒x2+mxx−1=2\log_{2}\left(\frac{x^2 + mx}{x - 1}\right) = 1 \Rightarrow \frac{x^2 + mx}{x - 1} = 2.
32 puncte
Se obține x2+mx=2x−2⇒x2+(m−2)x+2=0x^2 + mx = 2x - 2 \Rightarrow x^2 + (m - 2)x + 2 = 0.
42 puncte
Aceasta este o ecuație pătratică în xx. Pentru a avea exact două soluții reale distincte >1> 1, discriminantul Δ=(m−2)2−8>0\Delta = (m-2)^2 - 8 > 0 și ambele rădăcini să fie >1> 1.
52 puncte
Analiză: Δ>0⇒m<2−22\Delta > 0 \Rightarrow m < 2 - 2\sqrt{2} sau m>2+22m > 2 + 2\sqrt{2}. Se studiază poziția rădăcinilor x1,2=2−m±(m−2)2−82x_{1,2} = \frac{2-m \pm \sqrt{(m-2)^2 - 8}}{2} relativ la 1, folosind condiții ca suma și produsul să fie >2> 2 și >1> 1, respectiv. Se obțin intervale precise pentru mm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.