GreuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

GreuGrupuri
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{z \in \mathbb{C} \mid |z|=1\} cu înmulțirea numerelor complexe (grupul cercului). a) Demonstrați că GG este grup. b) Fie Hn={z∈G∣zn=1}H_n = \{z \in G \mid z^n = 1\} pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Demonstrați că HnH_n este subgrup finit al lui GG și determinați ordinul său. c) Arătați că HnH_n este ciclic și găsiți un generator. d) Fie φ:G→R\varphi: G \to \mathbb{R} definită prin φ(z)=arg⁡(z)\varphi(z) = \arg(z) (argumentul principal în [0,2π)[0,2\pi)). Este φ\varphi morfism de grupuri? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
GG: închidere ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=1|z_1z_2|=|z_1||z_2|=1, asociativitate din C\mathbb{C}, element neutru 11, inversa z−1=zˉz^{-1}=\bar{z} cu ∣zˉ∣=1|\bar{z}|=1.
22 puncte
HnH_n: zn=1z^n=1 implică zz este rădăcină de ordin nn a unității. Închidere: (z1z2)n=z1nz2n=1(z_1z_2)^n=z_1^n z_2^n=1, inversa (z−1)n=(zn)−1=1(z^{-1})^n=(z^n)^{-1}=1, deci subgrup.
32 puncte
HnH_n are nn elemente: e2πik/ne^{2\pi i k/n} pentru k=0,1,…,n−1k=0,1,\dots,n-1, deci ∣Hn∣=n|H_n|=n.
42 puncte
HnH_n este ciclic generat de e2πi/ne^{2\pi i /n} (ordin nn).
51 punct
φ\varphi nu este morfism: arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)(mod2π)\arg(z_1z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}, dar adunarea modulo 2π2\pi nu este adunare obișnuită în R\mathbb{R}, deci nu păstrează operația strict.
61 punct
Explicație: φ(z1z2)≠φ(z1)+φ(z2)\varphi(z_1z_2) \neq \varphi(z_1) + \varphi(z_2) în general (exemplu: z1=z2=eπiz_1=z_2=e^{\pi i}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.