MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și operația ∗* definită pe GG prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad + b).\na) Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.\nb) Verificați dacă grupul este comutativ.\nc) Rezolvați în GG ecuația (2,3)∗(x,y)=(1,0)(2,3) * (x,y) = (1,0).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea axiomelor de grup: închiderea – pentru (a,b),(c,d)∈G(a,b),(c,d) \in G, (ac,ad+b)∈G(ac, ad+b) \in G deoarece ac≠0ac \neq 0; asociativitatea – se calculează ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf + ad+b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d)+b) = (ace, acf+ad+b), deci sunt egale; elementul neutru – se rezolvă (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b)*(e_1,e_2) = (a,b), de unde (ae1,ae2+b)=(a,b)(ae_1, ae_2+b) = (a,b), deci e1=1,e2=0e_1=1, e_2=0, și se verifică că (1,0)(1,0) este neutru; simetricul – pentru (a,b)(a,b), se rezolvă (a,b)∗(a′,b′)=(1,0)(a,b)*(a',b') = (1,0), de unde (aa′,ab′+b)=(1,0)(aa', ab'+b) = (1,0), deci a′=1a,b′=−baa'=\frac{1}{a}, b'=-\frac{b}{a}, și (1a,−ba)∈G(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}) \in G.\n
22 puncte
Verificarea comutativității: (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b)*(c,d) = (ac, ad+b) și (c,d)∗(a,b)=(ca,cb+d)(c,d)*(a,b) = (ca, cb+d), care sunt egale doar dacă ad+b=cb+dad+b = cb+d pentru toate a,b,c,da,b,c,d, ceea ce nu este adevărat, de exemplu pentru (1,1)∗(2,3)=(2,4)(1,1)*(2,3) = (2,4) și (2,3)∗(1,1)=(2,5)(2,3)*(1,1) = (2,5), deci grupul nu este comutativ.\n
34 puncte
Rezolvarea ecuației (2,3)∗(x,y)=(1,0)(2,3) * (x,y) = (1,0): din definiție, (2x,2y+3)=(1,0)(2x, 2y + 3) = (1,0), deci 2x=12x=1 și 2y+3=02y+3=0, cu soluțiile x=12x=\frac{1}{2} și y=−32y=-\frac{3}{2}, verificând că (12,−32)∈G(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) \in G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.