MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea asociativității: calcul (x∗y)∗z=(x+y+3xy)∗z=x+y+3xy+z+3(x+y+3xy)z=x+y+z+3(xy+xz+yz)+9xyz(x * y) * z = (x+y+3xy) * z = x+y+3xy+z+3(x+y+3xy)z = x+y+z+3(xy+xz+yz)+9xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+3yz)=x+y+z+3yz+3x(y+z+3yz)=x+y+z+3(xy+xz+yz)+9xyzx * (y * z) = x * (y+z+3yz) = x+y+z+3yz+3x(y+z+3yz) = x+y+z+3(xy+xz+yz)+9xyz, comparând și concluzionând că operația este asociativă.
24 puncte
Rezolvarea ecuației: calcul 2∗x=2+x+3⋅2⋅x=2+x+6x=2+7x2 * x = 2 + x + 3\cdot2\cdot x = 2 + x + 6x = 2 + 7x, apoi (2∗x)∗3=(2+7x)∗3=2+7x+3+3(2+7x)3=5+7x+18+63x=23+70x(2 * x) * 3 = (2+7x) * 3 = 2+7x+3+3(2+7x)3 = 5+7x+18+63x = 23+70x, setând 23+70x=523+70x=5, deci 70x=−1870x=-18, x=−1870=−935x=-\frac{18}{70}=-\frac{9}{35}, care nu este întreg, deci ecuația nu are soluții în Z\mathbb{Z}.
33 puncte
Condiția a∗b=0a * b = 0 implică a+b+3ab=0a+b+3ab=0. Rezolvând pentru bb, b(1+3a)=−ab(1+3a) = -a, deci dacă 1+3a≠01+3a \neq 0, b=−a1+3ab = \frac{-a}{1+3a}. Pentru ca bb să fie întreg, 1+3a1+3a trebuie să dividă aa. Analizând cazurile: dacă 1+3a=±11+3a = \pm 1, adică a=0a=0 sau a=−23a=-\frac{2}{3} (nu întreg), sau 1+3a1+3a divide aa pentru anumite valori întregi, cum ar fi a=0a=0 dă b=0b=0, a=1a=1 dă b=−14b=-\frac{1}{4} nu întreg, etc. Lista completă: a=0a=0 cu b=0b=0, și pentru aa astfel încât 1+3a1+3a este divizor al lui aa, de exemplu a=−1a=-1 dă b=12b=\frac{1}{2} nu întreg, deci singura soluție în Z\mathbb{Z} este a=0a=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine parametrii a,b,ca, b, c astfel încât operația ∗* să fie asociativă și să admită element neutru.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.