MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm asociativitatea: (x∗y)∗z=(xy+2x+3y+k)∗z=(xy+2x+3y+k)z+2(xy+2x+3y+k)+3z+k=xyz+2xz+3yz+kz+2xy+4x+6y+2k+3z+k(x * y) * z = (xy + 2x + 3y + k) * z = (xy + 2x + 3y + k)z + 2(xy + 2x + 3y + k) + 3z + k = xyz + 2xz + 3yz + kz + 2xy + 4x + 6y + 2k + 3z + k. x∗(y∗z)=x∗(yz+2y+3z+k)=x(yz+2y+3z+k)+2x+3(yz+2y+3z+k)+k=xyz+2xy+3xz+kx+2x+3yz+6y+9z+3k+kx * (y * z) = x * (yz + 2y + 3z + k) = x(yz + 2y + 3z + k) + 2x + 3(yz + 2y + 3z + k) + k = xyz + 2xy + 3xz + kx + 2x + 3yz + 6y + 9z + 3k + k. Egalând coeficienții, obținem k=6k = 6.
23 puncte
Pentru k=6k=6, verificăm comutativitatea: x∗y=xy+2x+3y+6x * y = xy + 2x + 3y + 6, y∗x=yx+2y+3x+6y * x = yx + 2y + 3x + 6, deci legea este comutativă. Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x: xe+2x+3e+6=x⇒e(x+3)=−x−6xe + 2x + 3e + 6 = x \Rightarrow e(x+3) = -x-6. Pentru orice xx, aceasta trebuie să fie adevărată, deci coeficienții lui xx trebuie egali: e=−1e = -1 și −6=3e⇒e=−1-6 = 3e \Rightarrow e=-1.
34 puncte
Rezolvăm x∗x=1x * x = 1: x2+2x+3x+6=1⇒x2+5x+5=0x^2 + 2x + 3x + 6 = 1 \Rightarrow x^2 + 5x + 5 = 0. Discriminantul este Δ=25−20=5\Delta = 25 - 20 = 5, deci soluțiile sunt x=−5±52x = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#3Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Mediu#4Legi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine parametrii a,b,ca, b, c astfel încât operația ∗* să fie asociativă și să admită element neutru.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.