MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Asociativitatea: Calculăm (x⋄y)⋄z=(x+y−xy)⋄z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \diamond y) \diamond z = (x + y - xy) \diamond z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz. x⋄(y⋄z)=x⋄(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyz=x+y+z−xy−xz−yz+xyzx \diamond (y \diamond z) = x \diamond (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz + xyz, deci egal, deci asociativă.
22 puncte
Comutativitatea: x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy, y⋄x=y+x−yx=x+y−xyy \diamond x = y + x - yx = x + y - xy, deci comutativă.
32 puncte
Elementul neutru ee: Din x⋄e=xx \diamond e = x, avem x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x + e - xe = x \Rightarrow e(1-x)=0 pentru orice x∈Zx \in \mathbb{Z}, deci e=0e=0.
42 puncte
Elemente simetrizabile: Un element xx este simetrizabil dacă există x′∈Zx' \in \mathbb{Z} astfel încât x⋄x′=0x \diamond x' = 0. Rezolvăm x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=xx−1x + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1-x) = -x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1} pentru x≠1x \neq 1. În Z\mathbb{Z}, x′x' trebuie să fie întreg, deci x−1x-1 divide xx. Cazuri: x=0x=0 dă x′=0x'=0, x=2x=2 dă x′=2x'=2. Alte valori nu sunt posibile. Deci elementele simetrizabile sunt 00 și 22, cu simetricele 00 și respectiv 22.
52 puncte
Ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3: 2+x−2x=3⇒2−x=3⇒x=−12 + x - 2x = 3 \Rightarrow 2 - x = 3 \Rightarrow x = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#3Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Mediu#4Legi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine parametrii a,b,ca, b, c astfel încât operația ∗* să fie asociativă și să admită element neutru.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.