MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea comutativității: calcul x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} și y∗x=y+x1−yxy * x = \frac{y+x}{1-yx}, observând egalitatea.
24 puncte
Verificarea asociativității: calcul (x∗y)∗z=x+y1−xy+z1−x+y1−xyz(x * y) * z = \frac{\frac{x+y}{1-xy}+z}{1-\frac{x+y}{1-xy}z} și x∗(y∗z)=x+y+z1−yz1−xy+z1−yzx * (y * z) = \frac{x+\frac{y+z}{1-yz}}{1-x\frac{y+z}{1-yz}}, simplificând ambele expresii pentru a arăta că sunt egale.
32 puncte
Găsirea elementului neutru ee rezolvând x∗e=xx * e = x, adică x+e1−xe=x\frac{x+e}{1-xe} = x, obținând e=0e=0.
41 punct
Pentru fiecare xx, găsirea elementului simetric x′x' rezolvând x∗x′=0x * x' = 0, adică x+x′1−xx′=0\frac{x+x'}{1-xx'} = 0, deci x+x′=0x+x'=0, rezultând x′=−xx' = -x, cu condiția x≠1x \neq 1 și verificarea că x′∈R∖{1}x' \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Mediu#4Legi de compozițieGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea R\mathbb{R} prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine parametrii a,b,ca, b, c astfel încât operația ∗* să fie asociativă și să admită element neutru.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.