MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieFuncția de gradul I
Se consideră mulțimea G={f:R→R∣f(x)=ax+b, cu a,b∈R,a≠0}G = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(x) = ax + b, \text{ cu } a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și operația ∗* definită prin compunerea funcțiilor, adică (f∗g)(x)=f(g(x))(f * g)(x) = f(g(x)). Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup necomutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătați că operația este bine definită: dacă f(x)=a1x+b1f(x) = a_1 x + b_1 și g(x)=a2x+b2g(x) = a_2 x + b_2 sunt în GG, atunci (f∗g)(x)=a1(a2x+b2)+b1=(a1a2)x+(a1b2+b1)(f * g)(x) = a_1(a_2 x + b_2) + b_1 = (a_1 a_2)x + (a_1 b_2 + b_1), cu a1a2≠0a_1 a_2 \neq 0, deci f∗g∈Gf * g \in G.
23 puncte
Verificați asociativitatea: pentru orice f,g,h∈Gf, g, h \in G, (f∗g)∗h=f∗(g∗h)(f * g) * h = f * (g * h) deoarece compunerea funcțiilor este asociativă; se poate calcula explicit folosind forma liniară.
32 puncte
Găsiți elementul neutru: funcția e(x)=xe(x) = x, adică cu a=1,b=0a=1, b=0, aparține lui GG și verifică (f∗e)(x)=f(e(x))=f(x)(f * e)(x) = f(e(x)) = f(x) și (e∗f)(x)=e(f(x))=f(x)(e * f)(x) = e(f(x)) = f(x).
42 puncte
Pentru fiecare f(x)=ax+b∈Gf(x) = ax + b \in G, inversul este f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}, care aparține lui GG deoarece 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0, și verifică (f∗f−1)(x)=f(f−1(x))=x(f * f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x și (f−1∗f)(x)=f−1(f(x))=x(f^{-1} * f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x.
51 punct
Arătați că grupul nu este comutativ: luați f(x)=2xf(x) = 2x și g(x)=x+1g(x) = x+1; atunci (f∗g)(x)=2(x+1)=2x+2(f * g)(x) = 2(x+1) = 2x+2, iar (g∗f)(x)=2x+1(g * f)(x) = 2x+1, deci f∗g≠g∗ff * g \neq g * f.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.