MediuProgresii GeometriceClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm z=(0,1)z = (0,1) ca fiind numărul complex ii (unitatea imaginară).\n
24 puncte
Suma ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k este o progresie geometrică cu rația zz. Aplicăm formula pentru suma unei progresii geometrice: Sn=1−zn+11−zS_n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}, pentru z≠1z \neq 1.\n
33 puncte
Calculăm puterile lui ii: i0=1i^0=1, i1=ii^1=i, i2=−1i^2=-1, i3=−ii^3=-i, i4=1i^4=1, și ciclul se repetă la fiecare 4.\n
41 punct
În funcție de nn, exprimăm suma. De exemplu, dacă nn este multiplu de 4, suma este n+1n+1; altfel, folosim formula sau considerăm cazurile modulo 4 pentru a simplifica.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Ușor#4Progresii GeometriceȘiruri de numere reale
Arătați și calculați: Șirul cu termen general an=2⋅3na_n=2\cdot 3^n este o progresie geometrică; determinați suma primilor opt termeni, considerând n≥1n\ge 1.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.