MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați sistemul: log⁡3x+log⁡3y=2+log⁡32\log_3 x + \log_3 y = 2 + \log_3 2, log⁡27(x+y)=23\log_{27}(x+y) = \frac{2}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Combinați suma de logaritmi folosind regula log⁡au+log⁡av=log⁡a(uv)\log_a u + \log_a v = \log_a(uv) şi observați că 2=log⁡392=\log_3 9, deci log⁡3x+log⁡3y=log⁡318\log_3 x + \log_3 y = \log_3 18, rezultând xy=18xy=18.\n
23 puncte
Din log⁡27(x+y)=23\log_{27}(x+y)=\frac{2}{3} obţineți x+y=272/3=9x+y=27^{2/3}=9.\n
34 puncte
Rezolvați sistemul x+y=9x+y=9, xy=18xy=18. Fie t=xt=x atunci t(9−t)=18⇒t2−9t+18=0t(9-t)=18\Rightarrow t^2-9t+18=0, discriminant Δ=9\Delta=9. Soluții t=3t=3 și t=6t=6. Deci (x,y)=(6,3)(x,y)=(6,3) sau (3,6)(3,6); verificați domeniul x>0,y>0x>0,y>0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.