MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați inegalitatea: log⁡1/5(x2−6x+18)+2log⁡5(x−4)<0\log_{1/5}(x^2-6x+18)+2\log_5(x-4) < 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinați domeniul de definiţie: observaţi x2−6x+18=(x−3)2+9>0x^2-6x+18=(x-3)^2+9>0 pentru orice xx, iar log⁡5(x−4)\log_5(x-4) impune x−4>0x-4>0, deci x>4x>4; excludeţi egalitatea la 4 pentru că logaritmul ar fi nereprezentabil. ;
22 puncte
Schimbaţi baza 1/51/5 prin relaţia log⁡1/5A=−log⁡5A\log_{1/5}A=-\log_5 A şi rescrieţi inegalitatea folosind logaritmi la baza 5. ;
33 puncte
Comasaţi termenii: obţineţi o singură expresie logaritmică log⁡5(x−4)2x2−6x+18<0\log_5\dfrac{(x-4)^2}{x^2-6x+18}<0 şi utilizaţi monotonia logaritmului la baza 5 pentru a transforma în inegalitate algebrică asupra fracţiei. ;
43 puncte
Rezolvaţi inegalitatea rezultată pe domeniul x>4x>4 şi scrieţi soluţia finală, justificând excluderea punctului x=4x=4 şi verificând pozitivitatea argumentului logaritmic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.