MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorStudiul funcțiilor
Găsiți domeniul de definiție și imaginea funcției f(x)=x−1+23−x f(x)=\sqrt{x-1+2\sqrt{3-x}}\,.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Determinați domeniul de definiție impunând condiţiile pentru radicale: interiorul radicalului interior necesită 3−x≥0⇒x≤33-x\ge0\Rightarrow x\le3. Punem t=3−x≥0t=\sqrt{3-x}\ge0, astfel x=3−t2x=3-t^2 şi interiorul radicalului exterior devine x−1+23−x=3−t2−1+2t=2−t2+2tx-1+2\sqrt{3-x}=3-t^2-1+2t=2-t^2+2t. Cerem 2−t2+2t≥0⇔t2−2t−2≤02-t^2+2t\ge0\Leftrightarrow t^2-2t-2\le0, ale cărei rădăcini sunt 1±31\pm\sqrt{3}; pentru t≥0t\ge0 obţinem 0≤t≤1+30\le t\le 1+\sqrt{3}, deci x=3−t2∈[−1−23,3]x=3-t^2\in[-1-2\sqrt{3},3].
25 puncte
Determinați imaginea: cu t∈[0,1+3]t\in[0,1+\sqrt{3}] avem valoarea interioară 2−t2+2t=3−(t−1)2∈[0,3]2-t^2+2t=3-(t-1)^2\in[0,3], deci f(x)=3−(t−1)2∈[0,3]f(x)=\sqrt{3-(t-1)^2}\in[0,\sqrt{3}], imaginea fiind [0,3][0,\sqrt{3}].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.