MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Gasiti toate valorile lui k pentru care orice numar real x este solutie a cel putin uneia dintre inegalitatile x2+5k2+8k>2(3kx+2)x^2 + 5k^2 + 8k > 2(3kx + 2) si x2+4x2≥k(4x+1).x^2 + 4x^2 \ge k(4x + 1).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescriem prima inegalitate: x2−6kx+(5k2+8k−4)>0.x^2 - 6kx + (5k^2 + 8k - 4) > 0. A doua: 5x2−4kx−k≥0.5x^2 - 4kx - k \ge 0.
24 puncte
Conditia ceruta este ca pentru orice x, cel putin una dintre inegalitati sa fie adevarata. Asta inseamna ca nu exista niciun x care sa le incalce pe ambele simultan. Negatia cerintei ar fi: "exista un x pentru care primele doua expresii sunt ambele false". Deci trebuie sa ne asiguram ca cele doua parabole nu sunt ambele negative simultan. Aceasta este echivalenta cu cerinta ca nu exista solutii comune pentru cele doua ecuatii stricte: x2−6kx+(5k2+8k−4)=0,x^2 - 6kx + (5k^2 + 8k - 4) = 0, 5x2−4kx−k=0.5x^2 - 4kx - k = 0. Sistemul are solutii comune daca determinantul Sylvester este zero. Calculand, obtinem conditia: k=0sauk=−2.k = 0 \quad \text{sau} \quad k = -2.
33 puncte
Verificare: pentru k=0k = 0, prima devine x2−4>0x^2 - 4 > 0, a doua devine 5x2≥05x^2 \ge 0, mereu adevarata. Pentru k=−2k = -2, testand, inegalitatile acopera intreaga axa reala. Concluzie: k=0  sau  k=−2.k = 0 \; \text{sau} \; k = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.