MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați inegalitatea (13)log⁡1/3(3⋅(12)x+5)<21+x\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{1/3}\left(3\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}+5\right)} < 2^{1+x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați identitatea (13)log⁡1/3U=U\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{1/3}U}=U pentru U>0U>0, deci inegalitatea devine 3⋅(12)x+5<21+x3\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}+5 < 2^{1+x};
23 puncte
Faceți substituția t=2x>0t=2^{x}>0, astfel (12)x=1t\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}=\tfrac{1}{t} şi obțineți inegalitatea rațională 3⋅1t+5<2t3\cdot\tfrac{1}{t}+5<2t, apoi multiplicați cu t>0t>0 pentru a obţine o inegalitate cuadratică în tt: 2t2−5t−3>02t^{2}-5t-3>0;
34 puncte
Calculați rădăcinile (t=3t=3 şi t=−12t=-\tfrac{1}{2}), deduceți condiția t>3t>3 şi reveniți la xx prin 2x>32^{x}>3, deci soluţia este x>log⁡23x>\log_{2}3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.