MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: 16log⁡2(x−2)−13=log⁡1/83x−5\dfrac{1}{6}\log_2(x-2)-\dfrac{1}{3}=\log_{1/8}\sqrt{3x-5}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Domeniul: x−2>0x-2>0 și 3x−5>03x-5>0 \Rightarrow x>2x>2 (deoarece x>2x>2 implică și x>5/3x>5/3).
26 puncte
Schimbați baza dreapta: log⁡1/83x−5=12log⁡2(3x−5)log⁡2(1/8)=−16log⁡2(3x−5)\log_{1/8}\sqrt{3x-5}=\dfrac{\frac{1}{2}\log_2(3x-5)}{\log_2(1/8)}= -\dfrac{1}{6}\log_2(3x-5). Ecuația devine 16log⁡2(x−2)−13=−16log⁡2(3x−5)\dfrac{1}{6}\log_2(x-2)-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{6}\log_2(3x-5). Înmulțind cu 66: log⁡2(x−2)−2=−log⁡2(3x−5)\log_2(x-2)-2=-\log_2(3x-5) \Rightarrow log⁡2((x−2)(3x−5))=2\log_2((x-2)(3x-5))=2 \Rightarrow (x−2)(3x−5)=4(x-2)(3x-5)=4. Se obține 3x2−11x+6=03x^2-11x+6=0 \Rightarrow x=3x=3 sau x=23x=\dfrac{2}{3}. Din domeniu rămâne doar x=3x=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.