MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea log⁡1/4(x2)+1log⁡x−1(1/2)≥log⁡1/22\log_{1/4}(x^2)+\dfrac{1}{\log_{x-1}(1/2)}\ge\log_{1/2}2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinați domeniul: pentru log⁡1/4(x2)\log_{1/4}(x^2) cerem x≠0x\neq0. Pentru log⁡x−1(1/2)\log_{x-1}(1/2) baza trebuie pozitivă şi diferită de 1, deci x−1>0x-1>0 şi x−1≠1x-1\neq1, adică x>1x>1 şi x≠2x\neq2. În concluzie x>1x>1, x≠2x\neq2. Observați că log⁡1/22=−1\log_{1/2}2=-1. \
24 puncte
Rescrieţi în termeni de logaritm natural: log⁡1/4(x2)=2ln⁡xln⁡(1/4)=−ln⁡xln⁡2\log_{1/4}(x^2)=\dfrac{2\ln x}{\ln(1/4)}=-\dfrac{\ln x}{\ln2} (pe domeniul x>1x>1 putem folosi ln⁡x\ln x), iar 1log⁡x−1(1/2)=ln⁡(x−1)ln⁡(1/2)=−ln⁡(x−1)ln⁡2\dfrac{1}{\log_{x-1}(1/2)}=\dfrac{\ln(x-1)}{\ln(1/2)}=-\dfrac{\ln(x-1)}{\ln2}. Astfel inegalitatea devine −ln⁡x+ln⁡(x−1)ln⁡2≥−1-\dfrac{\ln x+\ln(x-1)}{\ln2}\ge-1. \
32 puncte
Din simplificare rezultă ln⁡(x(x−1))≤ln⁡2\ln\bigl(x(x-1)\bigr)\le\ln2, deci x(x−1)≤2x(x-1)\le2. Pe domeniul x>1x>1 aceasta echivalează cu 1<x<21<x<2, iar x≠2x\neq2 este deja exclus, deci soluția finală este x∈(1,2)x\in(1,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.