MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea log⁡2(sin⁡(x2))<−1\log_{2}\bigl(\sin(\tfrac{x}{2})\bigr)<-1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Impuneţi domeniul: pentru logaritm este nevoie de sin⁡(x2)>0\sin(\tfrac{x}{2})>0, deci x2∈(2kπ,2kπ+π)\tfrac{x}{2}\in(2k\pi,2k\pi+\pi), k∈Zk\in\mathbb{Z}.
23 puncte
Transformaţi inegalitatea folosind funcţia monotonă crescătoare log⁡2\log_{2}: sin⁡(x2)<2−1=12\sin(\tfrac{x}{2})<2^{-1}=\tfrac{1}{2}.
33 puncte
Rezolvaţi în fiecare perioadă: pentru t=x2t=\tfrac{x}{2} avem t∈(2kπ,2kπ+π)t\in(2k\pi,2k\pi+\pi) şi condiţia sin⁡t<12\sin t<\tfrac{1}{2} conduce la t∈(2kπ,2kπ+π6)∪(2kπ+5π6,2kπ+π)t\in(2k\pi,2k\pi+\tfrac{\pi}{6})\cup(2k\pi+\tfrac{5\pi}{6},2k\pi+\pi). Multiplicând cu 22 obţinem soluţia finală x∈(4kπ,4kπ+π3)∪(4kπ+5π3,4kπ+2π)x\in(4k\pi,4k\pi+\tfrac{\pi}{3})\cup(4k\pi+\tfrac{5\pi}{3},4k\pi+2\pi), k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.