MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 10

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției f(x)=log⁡4(2−4x−2x+1x+2)f(x)=\log_{4}\Big(2-4\sqrt{x}-2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\Big).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observăm că expresia implică x\sqrt{x}, deci trebuie x≥0x\ge0. De asemenea, x+2>0\sqrt{x}+2>0 pentru orice x≥0x\ge0, deci nu avem restricţie suplimentară din numitor. Notăm t=x≥0t=\sqrt{x}\ge0.;
24 puncte
Simplificăm interiorul: 2−4x−2x+1x+2=2−6t+1t+22-4\sqrt{x}-2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}=2-6t+\dfrac{1}{t+2}. Condiţia pentru logaritm (baza 4>1) este: 2−6t+1t+2>02-6t+\dfrac{1}{t+2}>0. Multiplicăm cu t+2>0t+2>0 şi obţinem inegalitatea echivalentă −6t2−10t+5>0-6t^{2}-10t+5>0, sau 6t2+10t−5<06t^{2}+10t-5<0.;
34 puncte
Rezolvăm 6t2+10t−5<06t^{2}+10t-5<0. Rădăcinile sunt t=−10±22012=−5±556t=\dfrac{-10\pm\sqrt{220}}{12}=\dfrac{-5\pm\sqrt{55}}{6}. Intervalul în care polinomul este negativ este (−5−556, −5+556)\big(\dfrac{-5-\sqrt{55}}{6},\,\dfrac{-5+\sqrt{55}}{6}\big). Intersectând cu t≥0t\ge0 obţinem 0≤t<−5+5560\le t<\dfrac{-5+\sqrt{55}}{6}. Revenind la x=t2x=t^{2}, domeniul este 0≤x<(−5+556)2\displaystyle 0\le x<\Big(\dfrac{-5+\sqrt{55}}{6}\Big)^{2}. (Punctul de extremă superior se exclude deoarece face argumentul logaritmului nul.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.