MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: (x/10)log⁡x−2<100(x/10)^{\log x - 2} < 100.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinați domeniul de definiție: x>0x>0 deoarece apare log⁡x\log x.
25 puncte
Notați t=log⁡xt=\log x (baza 10). Atunci x=10tx=10^t şi x/10=10t−1x/10=10^{t-1}, deci (x/10)log⁡x−2=10(t−1)(t−2)(x/10)^{\log x-2}=10^{(t-1)(t-2)}. Inegalitatea devine 10(t−1)(t−2)<10210^{(t-1)(t-2)}<10^2, adică (t−1)(t−2)<2(t-1)(t-2)<2. Calculați: (t−1)(t−2)−2=t2−3t<0⇒t(t−3)<0(t-1)(t-2)-2=t^2-3t<0\Rightarrow t(t-3)<0, deci t∈(0,3)t\in(0,3).
33 puncte
Transformați în xx: log⁡x∈(0,3)⇒x∈(100,103)=(1,1000)\log x\in(0,3)\Rightarrow x\in(10^0,10^3)=(1,1000). Concluzie: soluția este x∈(1,1000)x\in(1,1000).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.