MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați log⁡2x≤2log⁡2x−1\log_{2} x \le \dfrac{2}{\log_{2} x - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: x>0x>0 și log⁡2x≠1\log_{2} x\neq1. Notăm y=log⁡2xy=\log_{2} x.
24 puncte
Aducem la același numitor: y−2y−1≤0⇒y2−y−2y−1≤0y-\dfrac{2}{y-1}\le0\Rightarrow\dfrac{y^2-y-2}{y-1}\le0. Numeratorul se factorizează: y2−y−2=(y−2)(y+1)y^2-y-2=(y-2)(y+1).
34 puncte
Studiem semnul funcției raționale cu puncte critice y=−1,1,2y=-1,1,2. Rezultă soluția y∈(−∞,−1]∪(1,2]y\in(-\infty,-1]\cup(1,2]. Revenind la xx: log⁡2x∈(−∞,−1]∪(1,2]⇒x∈(0,12]∪(2,4]\log_{2} x\in(-\infty,-1]\cup(1,2]\Rightarrow x\in(0,\tfrac{1}{2}]\cup(2,4].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.