MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: log⁡14(35−x2x)≥−12\log_{\tfrac{1}{4}}\Bigl(\dfrac{35 - x^2}{x}\Bigr) \ge -\tfrac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: 35−x2x>0\dfrac{35-x^2}{x}>0. Analiza semnelor arată domeniul (−∞,−35)∪(0,35)(-\infty,-\sqrt{35})\cup(0,\sqrt{35}).
25 puncte
Pentru baza 14∈(0,1)\tfrac{1}{4}\in(0,1), inegalitatea echivalează cu 35−x2x≤(14)−1=4\dfrac{35-x^2}{x}\le\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{-1}=4. Aceasta conduce la 35−x2≤4x  ⟺  x2+4x−35≥035-x^2\le4x\iff x^2+4x-35\ge0. Ecuația x2+4x−35=0x^2+4x-35=0 are rădăcinile −2±39-2\pm\sqrt{39}. Deci x≤−2−39x\le -2-\sqrt{39} sau x≥−2+39x\ge -2+\sqrt{39}. Intersectând cu domeniul se obţine soluția (−∞,−2−39]∪[−2+39,35)(-\infty,-2-\sqrt{39}]\cup[ -2+\sqrt{39},\sqrt{35} ).
32 puncte
Concluzie: soluția inegalității este (−∞,−2−39]∪[−2+39,35)\boxed{(-\infty,-2-\sqrt{39}]\cup[ -2+\sqrt{39},\sqrt{35} )}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.