MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: 1log⁡3(x+1)<12⋅log⁡9x2+6x+9\dfrac{1}{\log_3(x+1)} < \dfrac{1}{2\cdot\log_9\sqrt{x^2+6x+9}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: trebuie x+1>0x+1>0 şi x2+6x+9>0\sqrt{x^2+6x+9}>0; astfel x>−1x>-1 şi x≠−3x\neq-3, dar pentru x>−1x>-1 avem automat x≠−3x\neq-3, deci domeniul este x>−1x>-1.
23 puncte
Simplificați logaritmii: log⁡9x2+6x+9=log⁡9∣x+3∣=log⁡3∣x+3∣log⁡39=log⁡3∣x+3∣2\log_9\sqrt{x^2+6x+9}=\log_9|x+3|=\dfrac{\log_3|x+3|}{\log_3 9}=\dfrac{\log_3|x+3|}{2}. Atunci 2⋅log⁡9x2+6x+9=log⁡3∣x+3∣2\cdot\log_9\sqrt{x^2+6x+9}=\log_3|x+3|. Pentru x>−1x>-1 avem ∣x+3∣=x+3>0|x+3|=x+3>0, deci inegalitatea devine 1log⁡3(x+1)<1log⁡3(x+3)\dfrac{1}{\log_3(x+1)}<\dfrac{1}{\log_3(x+3)}.
33 puncte
Analiza semnelor: pentru x>−1x>-1 avem log⁡3(x+3)>0\log_3(x+3)>0 (deoarece x+3>2x+3>2). Dacă log⁡3(x+1)<0\log_3(x+1)<0 (adică −1<x<0-1<x<0) atunci partea stângă este negativă iar cea dreaptă pozitivă, inegalitatea este satisfăcută pentru orice x∈(−1,0)x\in(-1,0). Dacă log⁡3(x+1)>0\log_3(x+1)>0 (adică x>0x>0) atunci putem inversa: 1/log⁡3(x+1)<1/log⁡3(x+3)⇔log⁡3(x+3)<log⁡3(x+1)1/\log_3(x+1)<1/\log_3(x+3)\Leftrightarrow\log_3(x+3)<\log_3(x+1), ceea ce ar însemna x+3<x+1x+3<x+1, imposibil.
42 puncte
Concluzie: soluția este x∈(−1,0)x\in(-1,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.