MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Pentru ce valori ale lui a ecuatia x2+1=xax^2 + 1 = \frac{x}{a} are doua radacini reale distincte x1,x2x_1, x_2 care satisfac inegalitatea ∣x12−x22∣>1a?|x_1^2 - x_2^2| > \frac{1}{a}?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aducem ecuatia la forma standard: ax2−x+a=0.a x^2 - x + a = 0. Pentru doua radacini reale distincte, discriminantul trebuie sa fie pozitiv: Δ=(−1)2−4a2=1−4a2>0,\Delta = (-1)^2 - 4a^2 = 1 - 4a^2 > 0, de unde ∣a∣<12.|a| < \frac{1}{2}.
24 puncte
Avem x12−x22=(x1−x2)(x1+x2).x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2). Stim: x1−x2=Δ∣a∣,x1+x2=1a.x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}, \quad x_1 + x_2 = \frac{1}{a}. Astfel ∣x12−x22∣=1−4a2∣a∣⋅1∣a∣=1−4a2a2.|x_1^2 - x_2^2| = \frac{\sqrt{1 - 4a^2}}{|a|} \cdot \frac{1}{|a|} = \frac{\sqrt{1 - 4a^2}}{a^2}. Impunem conditia: 1−4a2a2>1a.\frac{\sqrt{1 - 4a^2}}{a^2} > \frac{1}{a}. Pentru a>0a > 0 aceasta devine 1−4a2>a,\sqrt{1 - 4a^2} > a, iar pentru a<0a < 0 devine 1−4a2>−a.\sqrt{1 - 4a^2} > -a. In ambele cazuri ridicam la patrat: 1−4a2>a2,1 - 4a^2 > a^2, 1>5a2,1 > 5a^2, ∣a∣<15.|a| < \frac{1}{\sqrt{5}}.
33 puncte
Conjugam cu ∣a∣<1/2|a| < 1/2 si obtinem intervalul final: 0<∣a∣<15.0 < |a| < \frac{1}{\sqrt{5}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.