MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea log⁡x2+2x−3(∣x+4∣−∣x∣x−1)>0\log_{x^2+2x-3}\left(\dfrac{|x+4| - |x|}{x-1}\right) > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinați domeniul: baza x2+2x−3=(x−1)(x+3)>0⇒x>1x^2+2x-3=(x-1)(x+3)>0\Rightarrow x>1 sau x<−3x<-3; baza ≠ 1 pentru x≠−1±5x\neq -1\pm\sqrt{5}; argumentul trebuie >0>0, analizaţi semnul raportului \ ∣x+4∣−∣x∣x−1\dfrac{|x+4|-|x|}{x-1} pe intervale determinate de punctele −4,−2,0,1-4,-2,0,1. Obţineţi că argumentul este pozitiv doar pe intervalele (−∞,−4](-\infty,-4], (−4,−2)(-4,-2) şi (1,∞)(1,\infty) cu excepţiile unde este nul sau negativ.
24 puncte
Analizaţi cazurile bazei: pentru baza >1>1 (adică x<−1−5x< -1-\sqrt{5} sau x>−1+5x> -1+\sqrt{5}) inegalitatea log⁡b(u)>0\log_{b}(u)>0 este echivalentă cu u>1u>1; pentru 0<b<10<b<1 (adică −1−5<x<−3-1-\sqrt{5}<x<-3 sau 1<x<−1+51<x< -1+\sqrt{5}) echivalentul este u<1u<1. Comparând cu comportamentul raportului pe subintervale se obţine soluţia în reuniunea intervalelor (−1−5,−3)∪(−1+5,5)( -1-\sqrt{5},-3)\cup( -1+\sqrt{5},5).
32 puncte
Verificaţi excluderile (puncte unde baza≠1, argumentul≤0, sau baza≤0) şi formula finală: x∈(−1−5,−3)∪(−1+5,5)x\in( -1-\sqrt{5},-3)\cup( -1+\sqrt{5},5).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.