MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea: log⁡4(18−2x)⋅log⁡218−2x8≤−1\log_4(18-2^x)\cdot\log_2\dfrac{18-2^x}{8} \le -1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul: 18−2x>018-2^x>0 (adică 2x<182^x<18, deci x<log⁡218x<\log_2 18).
25 puncte
Scrieţi log⁡4(18−2x)=12log⁡2(18−2x)\log_4(18-2^x)=\dfrac{1}{2}\log_2(18-2^x) şi notaţi y=log⁡2(18−2x)y=\log_2(18-2^x). Atunci expresia devine y2(y−3)≤−1\dfrac{y}{2}(y-3)\le-1. Multiplicaţi cu 2 şi rezolvaţi inegalitatea quadratică: y(y−3)≤−2⇒y2−3y+2≤0⇒(y−1)(y−2)≤0y(y-3)\le-2\Rightarrow y^2-3y+2\le0\Rightarrow (y-1)(y-2)\le0, deci y∈[1,2]y\in[1,2].
33 puncte
Revenind la xx: log⁡2(18−2x)∈[1,2]⇒18−2x∈[2,4]⇒2x∈[14,16]⇒x∈[log⁡214,4]\log_2(18-2^x)\in[1,2]\Rightarrow 18-2^x\in[2,4]\Rightarrow 2^x\in[14,16]\Rightarrow x\in[\log_2 14,4], intersectat cu domeniul iniţial.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.