MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: log⁡3(2x−527)⋅log⁡1/3(2x−5)<2\log_3\left(\frac{2^x-5}{27}\right)\cdot\log_{1/3}(2^x-5) < 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul de definiție: impuneți 2x−5>02^x-5>0, deci x>log⁡25x>\log_2 5.
24 puncte
Transformare algebraică: folosiți faptul că log⁡1/3(2x−5)=−log⁡3(2x−5)\log_{1/3}(2^x-5)=-\log_3(2^x-5) şi notați y=log⁡3(2x−5)y=\log_3(2^x-5); atunci expresia devine −(y−3)y<2-(y-3)y<2, adică y2−3y+2>0y^2-3y+2>0, deci (y−1)(y−2)>0(y-1)(y-2)>0 şi rezultă y∈(−∞,1)∪(2,∞)y\in(-\infty,1)\cup(2,\infty).
33 puncte
Revenirea la xx: transformați intervalele pentru yy în condiţii pentru 2x−52^x-5 şi apoi pentru xx, obţinând x∈(log⁡25, 3)∪(log⁡214, +∞)x\in(\log_2 5,\,3)\cup(\log_2 14,\,+\infty); verificaţi consistenţa cu domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.