MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: log⁡x2−log⁡4x+76=0\log_x 2 - \log_4 x + \tfrac{7}{6} = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Domeniu: x>0x>0, x≠1x\neq1 (baza logaritmului trebuie pozitivă și diferită de 1).
23 puncte
Folosiți schimbarea de bază și notația t=log⁡2xt=\log_2 x, astfel log⁡x2=1/t\log_x 2=1/t și log⁡4x=t/2\log_4 x=t/2. Obțineți ecuația 1t−t2+76=0\dfrac{1}{t}-\dfrac{t}{2}+\dfrac{7}{6}=0.
34 puncte
Multiplicați cu 6t6t și rezolvați cuadratica: 3t2−7t−6=0⇒t=33t^2-7t-6=0\Rightarrow t=3 sau t=−23t=-\tfrac{2}{3}.
42 puncte
Revenind la xx: x=23=8x=2^3=8 și x=2−2/3x=2^{-2/3}; ambele satisfac condițiile inițiale, deci soluțiile sunt x=8x=8 și x=2−2/3x=2^{-2/3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.