MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru ce valori ale lui a∈Ra \in \mathbb{R} ecuatia x2+1=xax^2 + 1 = \dfrac{x}{a} are doua radacini reale distincte x1x_1, x2x_2 care satisfac inegalitatea ∣x12−x22∣>1∣a∣?\left|x_1^2 - x_2^2\right| > \frac{1}{|a|}?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Presupunem a≠0a \ne 0 si aducem ecuatia la forma standard: ax2−x+a=0.a x^2 - x + a = 0. Atunci A=a,  B=−1,  C=a.A = a, \; B = -1, \; C = a. Suma radacinilor este S=1a,S = \frac{1}{a}, produsul este P=1.P = 1. Discriminantul: Δ=(−1)2−4a2=1−4a2.\Delta = (-1)^2 - 4a^2 = 1 - 4a^2. Pentru radacini reale distincte este nevoie de 1−4a2>0⇒∣a∣<12.1 - 4a^2 > 0 \Rightarrow |a| < \frac{1}{2}.
24 puncte
Avem x12−x22=(x1−x2)(x1+x2)=(x1−x2)S.x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = (x_1 - x_2) S. De aici ∣x12−x22∣=∣x1−x2∣⋅∣S∣.\left|x_1^2 - x_2^2\right| = |x_1 - x_2| \cdot |S|. Diferenta radacinilor este ∣x1−x2∣=Δ∣A∣=1−4a2∣a∣,|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|} = \frac{\sqrt{1 - 4a^2}}{|a|}, iar ∣S∣=1/∣a∣|S| = 1/|a|. Deci ∣x12−x22∣=1−4a2∣a∣2.\left|x_1^2 - x_2^2\right| = \frac{\sqrt{1 - 4a^2}}{|a|^2}. Conditia data este 1−4a2∣a∣2>1∣a∣,\frac{\sqrt{1 - 4a^2}}{|a|^2} > \frac{1}{|a|}, echivalenta cu 1−4a2>∣a∣.\sqrt{1 - 4a^2} > |a|.
33 puncte
Ridicam la patrat (in interiorul intervalului ∣a∣<1/2|a| < 1/2): 1−4a2>a2,1 - 4a^2 > a^2, 1>5a2,1 > 5a^2, ∣a∣<15.|a| < \frac{1}{\sqrt{5}}. Impreuna cu ∣a∣<1/2|a| < 1/2 obtinem conditia finala 0<∣a∣<15.0 < |a| < \frac{1}{\sqrt{5}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.