MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația log⁡2(4x+4)=log⁡22x+log⁡2(2x+1−3)\log_2(4^x + 4) = \log_2 2^x + \log_2(2^{x+1} - 3).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți proprietatea sumelor de logaritmi pentru a scrie dreapta ca un singur log: log⁡2(4x+4)=log⁡2(2x(2x+1−3))\log_2(4^x+4)=\log_2\big(2^x(2^{x+1}-3)\big).
24 puncte
Egalând argumentele, puneți t=2xt=2^x și rezolvați t2+4=t(2t−3)⇒t2−3t−4=0t^2+4=t(2t-3)\Rightarrow t^2-3t-4=0, obținând t=4t=4 (resp. t=−1t=-1 respins).
33 puncte
Verificați condițiile de existență și determinați 2x=4⇒x=22^x=4\Rightarrow x=2, care satisface toate condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.